Convolución y la
estructura matemática de la física.
Faltung und die mathematische Struktur der Physik.
Gran parte de los
sistemas físicos reales se pueden aproximar a sistemas lineales tiempo
invariantes(LTI). Como circuitos lineales o sistemas mecánicos.
En este sentido , no
pretendo exponer de manera científica el tema, sino mostrar la relación entre
matemáticas y física, que es tan evidente con la convolución.
Básicamente, para un
sistema físico de ciertas características, comunes en muchos de los sistemas
reales ( invariante en el tiempo, lineal), se cumple que la convolución
relaciona dos funciones matemáticas que originan una nueva función.
Qué tiene de
interesante eso?
Si las funciones
corresponden a la señal de entrada en el tiempo que perturba un sistema físico
real, por un lado , y la que representa el sistema físico por el otro, la
salida o función resultante es la respuesta en el tiempo del sistema.
Eso es decir: podemos
corporizar la física por medio de los modelos matemáticos, simulando incluso
las perturbaciones que le aplicamos al modelo representativo de la realidad.
Si x(t) es la señal
de entrada o perturbación al sistema, y h(t) es el modelo representativo del
sistema físico, y(t) es la respuesta del sistema en el tiempo o comportamiento
ante la excitación.
Esa integral es
similar a otra función llamada correlación cruzada, de interesantes
aplicaciones estadísticas, por lo que no es extraño que se encuentren otras
relaciones entre la física de un sistema real y estadísticas en este caso.
Con los sistemas
informáticos actuales se resuelve fácilmente esta integral de convolución en
forma numérica. Esto permite obtener una función respuesta, pero no es la
función en el tiempo estricta. Para ello hay que resolver formalmente la
integral.
Interesante es saber
que Laplace al estudiar una serie de integrales que habían sido investigadas
por Euler, encontró una manera de resolver ecuaciones diferenciales.
La llamada
transformación de Laplace ( época 1782, mientras se acercaba la revolución…),
es estrictamente un operador que partiendo del tiempo hace un pasaje al campo
complejo.
De esta manera , las
funciones que se originan en el campo temporal se pasan al campo complejo,
donde las funciones x(t) y h(t) tienen su imagen como X(s) , H(s), originando
una función respuesta compleja Y(s).
Interesante es
observar que el producto X(s) H(s) =Y(s)
es posible en el campo complejo, lo que devuelve una función compleja
Y(s). Luego se opera retornando al campo temporal ( anti-transformando) con
distintas formas de tabulación, y qué encontramos? la respuesta en el tiempo al sistema cuya
perturbación era x(t) y su representación matemática h(t).
O sea, que para
encontrar la realidad de la física, primero vamos al camino de la irrealidad de
los números complejos que nos permiten conocer la realidad paradójicamente.
Los circuitos
eléctricos y los sistemas de control.
función senoidal
Esta aplicación tiene que ver con algunas ingenierías. El
área eléctrica, electrónica, control de procesos, son las que usan esta parte
de las matemáticas.
La función seno
aplicada a un sistema lineal invariante en el tiempo, ocasiona otra salida
senoidal, pero se origina un elemento de transferencia que en electricidad y
electrónica se conoce como impedancia.
La aplicación de la
descomposición en fracciones parciales
de la función representativa del sistema lineal usado, combinado con la función
en el campo complejo de la función seno, originan una expresión de términos
exponenciales decrecientes.
La expresión transformada de la función sen (ωt) es
Cuando se hacen
tender a cero los elementos representativos de la parte transitoria, solo queda
la parte permanente pudiendo trabajar solo con la frecuencia en vez de la
variable completa s.
Esto es lo que
permite también usar el análisis frecuencial en sistemas de control, analizando
el comportamiento de sistemas en régimen permanente.
Referencias
Ingeniería de control
moderna. (Katsuhiko Ogata)
http://www.mty.itesm.mx/dcic/deptos/m/Paginas/MateParaTodos/e07/archivos/convolucion.pdf
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node7.html
La
convolución y las operaciones relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones
de ingeniería y matemáticas.
·
En estadística, como
un promedio móvil ponderado.
·
En teoría de la probabilidad, la distribución de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias independientes es
la convolución de cada una de sus distribuciones de probabilidad.
·
En óptica, muchos tipos de "manchas" se
describen con convoluciones. Una sombra (e.g. la sombra en la mesa cuando
tenemos la mano entre ésta y la fuente de luz) es la convolución de la forma de
la fuente de luz que crea la sombra y del objeto cuya sombra se está
proyectando. Una fotografía desenfocada es la convolución de la imagen correcta
con el círculo borroso formado por el diafragma del iris.
·
En acústica, un eco es
la convolución del sonido original con una función que represente los objetos
variados que lo reflejan.
·
En ingeniería eléctrica, electrónica y
otras disciplinas, la salida de un sistema lineal (estacionario o bien tiempo-invariante
o espacio-invariante) es la
convolución de la entrada con la respuesta del sistema a un impulso (ver
animaciones).
·
En física, allí donde haya un sistema lineal con un "principio de superposición", aparece una
operación de convolución.
( en edición...)
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